Das Hauptproblem ist HDCP, also der in HDMI eingebaute Kopierschutz, denn der verhindert, dass du Signale in HD Qualität mit einem Gerät empfangen kannst was auch aufnehmen kann, aber das gilt nicht nur für interne Karten, sondern für alle Capture-Lösungen, auch externe an USB.
Die meisten Spielekonsolen haben eine Einstellung wo du HDCP deaktivieren kannst, sprich das musst du zuerst finden und deaktivieren.
Danach gibt es auch mit internen Karten keinerlei Probleme, allerdings sind die Karten in aller Regel deutlich teurer als externe Lösungen an USB.
Welche Karte du dann brauchst hängt davon ab wie hoch die Auflösung der Quelle ist, die von dir genannte Karte kenne ich nicht, aber z.B. die AverMedia Live Gamer 4K kann das mit 4K-Signalen.